1. 正态分布(高斯分布)

假设对于一组数据 ,如果它们满足正态分布,且平均数为 ,方差为 ,则记作:

概率密度函数为:

图像如下:

如果 ,则为标准正态分布。

2. 异常检测

假设有 个样本,每个样本有 个特征。在每个特征符合独立的正态分布的情况下,首先计算:

则:

(其中 是一个给定的较小的值),则认为该样本属于异常点。

如果一个特征不符合正态分布的话,需要做一些处理,使其基本符合正态分布。比如:

3. 多元高斯分布

上面的方法是假设所有的特征都符合相对独立的正态分布。如图所示:

然而事实上,许多情况下,不同特征之间是有着一定的关系的,并不是完全独立,因此上面的方法不再适用。如下图所示:

如果按照特征相对独立的方式来检测异常,将会是红色的圈,那么检测不到红色的点为异常。然而实际上应该是绿色的圈,这样才能检测到红色的点为异常。

此时需要计算协方差。即:

然后: