1. 优化目标

SVM 即支持向量机(Support Vector Machines),是一种大间距分类算法。

回顾在逻辑回归中,一个样本的损失函数为:

即:

  • 时:
  • 时:

函数图像如下:

回顾在逻辑回归中:

  • 时,需要
  • 时,需要

现在我们用另一个图像来近似拟合上面的损失函数,来得到一个更加严格的约束:

因此:

  • 时,需要
  • 时,需要

我们记 的损失函数为 ,记 的损失函数为 。令 SVM 的优化目标为:

假设将 设置的比较大,那么我们希望:

因此我们的优化目标为:

2. 大间距分类

SVM 能够很好地进行大间距分类。如图:

图中,三条线都能够将两类分开,但是很明显,实线比另外两条虚线划分的更好。因为两个类别的样本到实线的距离相对较大,而到虚线的距离相对较小,因此容易误判。

在数学上,两个向量点乘:

其中:

  • 表示向量 在向量 方向上投影的长度
  • 表示向量 的长度

因此:

其中 表示 方向的投影长度。我们知道 为分界线的法向量反向,因此 可以在一定程度上反映 到分割线的距离。因此我们希望 尽量大,也就是 尽量小。而:,因此这也就与前面的优化目标相一致了。

3. Gaussian Kernel

上面的分析我们假设都是线性可分的,然而实际上许多情况并非是线性可分。在这种情况下,我们可以通过将样本特征通过一定的函数映射,转化为线性可分。这里以高斯核为例。

将样本的 个特征映射为新的 个特征 。首先我们先选择 个点 ,定义:

  • ,则
  • 很远,则

下面是当 时, 的图像:

在得到这些新的特征后,我们对这些新的特征使用 SVM。

在实际过程中,如何选择参照点 呢?实际上,可以直接将 个样本点作为 个参照点,即: